Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M為棱PC的中點，求異面直線AP與BM所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C大小為30°，求QM的長．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題意易證QB⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)可得BQ⊥平面PAD，可得結(jié)論；（Ⅱ）易證PQ⊥平面ABCD，以Q為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則可得相關(guān)點的坐標(biāo)，可得向量

AP

和

BM

的坐標(biāo)，可得夾角的余弦值，由反三角函數(shù)可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量為

n

=(0，0，1)，又可求得平面MBQ法向量為

m

=(

3

，0，

1-λ

λ

)，結(jié)合題意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．

解答： 解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ
又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD． 
如圖，以Q為原點建立空間直角坐標(biāo)系．
則Q（0，0，0），A（1，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)
∵M是PC中點，∴M(-

1

2

，

3

2

，

3

2

)，
∴

AP

=(-1，0，

3

)，

BM

=(-

1

2

，-

3

2

，

3

2

)
設(shè)異面直線AP與BM所成角為θ
則cosθ=|cos＜

AP

，

BM

＞|=|

AP • BM

| AP || BM |

|=

2

7

7

，
∴異面直線AP與BM所成角的余弦值為

2

7

7

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量為

n

=(0，0，1)，
由 

QM

=λ

QP

+(1-λ)

QC

，且0≤λ≤1，得

QM

=(λ-1，

3

(1-λ)，

3

λ)，
又

QB

=(0，

3

，0)，∴平面MBQ法向量為

m

=(

3

，0，

1-λ

λ

)．
∵二面角M-BQ-C為30°，∴cos30°=|

n • m

| n || m |

|=

3

2

，
∴λ=

1

4

．∴|QM|=

39

4

點評：本題考查空間角，涉及平面與平面垂直的判定，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．