Question

已知直線l：y=x+m，m∈R．
（1）若以點M（2，0）為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；
（2）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為l′，問直線l′與拋物線C：x²=4y是否相切？若相切，求出此時的m值；若不相切，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用MP⊥l，求出m的值，求出圓的圓心與半徑即可得到圓的標準方程．
（2）求出對稱直線的方程與拋物線聯(lián)立方程組，利用相切求解即可．

解答： 解：（1）依題意，點P的坐標為（0，m）．
因為MP⊥l，所以

0-m

2-0

×1=-1，
解得m=2，即點P的坐標為（0，2）從而圓的半徑
r=|MP|=

(2-0)2+(0-2)2

=2

2

．
故所求圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（2）因為直線l的方程為y=x+m
所以直線l′的方程為y=-x-m．
由

y=-x-m x2=4y

得x²+4x+4m=0．
△=4²-4×4m=16（1-m）．
①當(dāng)m=1，即△=0時，直線l′與拋物線C相切；
②當(dāng)m≠1，即△≠0時，直線l′與拋物線C不相切．
綜上，當(dāng)m=1時，直線l′與拋物線C相切，當(dāng)m≠1時，直線l′與拋物線C不相切．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求法，以及對稱知識的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．