Question

已知△ABC的外接圓的半徑R=

3

3

，|BC|=1，∠BAC為銳角，∠ABC=θ，記f（θ）=

AB

•

AC

，
（1）求∠BAC 的大小及f（θ）關(guān)于θ的表達(dá)式；
（2）求f（θ）的值域．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理和數(shù)量積運算即可得出；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由正弦定理有：

1

sin∠BAC

=

|AC|

sinθ

=

|AB|

sin(π-∠BAC-θ)

=

2 3

3

，
|AC|=

2 3

3

sinθ，sin∠BAC=

3

2

，
∵∠BAC為銳角，∴∠BAC=

π

3

，
∴|AB|=

2 3

3

sin(

2π

3

-θ)．
∴f（θ）=

AB

•

AC

=

4

3

sin(

2π

3

-θ)sinθ×

1

2

=

2

3

(

3

2

cosθ+

1

2

cosθ)•sinθ
=

1

3

sin(2θ-

π

6

)+

1

6

(0＜θ＜

2π

3

)．
（2）由0＜θ＜

2π

3

可得-

π

6

＜2θ-

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2θ-

π

6

)≤1，
∴f（θ）∈(0，

1

2

]．

點評：本題考查了正弦定理和數(shù)量積運算、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．