Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2cos²

A+B

2

=1-cos2C，c-b=4，且a，b，c成等差數(shù)列，則△ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：解三角形

分析：t通過三角函數(shù)的內(nèi)角和以及二倍角公式求出C的值，利用已知條件以及余弦定理，等差數(shù)列，通過解方程求出a，b即可求解三角形的面積．

解答： 解：∵cos

A+B

2

=cos（

π

2

-

C

2

）=-sin

C

2

，cos2C=2cos²C-1，
∴2cos²（

A+B

2

）+cos2C=2sin²

C

2

+cos2C=（1-cosC）+2cos²C-1=1，
整理可得cosC=-

1

2

，或cosC=0
又C為三角形的內(nèi)角，
則C=

2π

3

；
c-b=4…①，且a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c…②，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab…③，
解①②③可得a=6，b=10，
△ABC的面積S=

1

2

absinC=15

3

，
故答案為：15

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，等差數(shù)列，二倍角的余弦函數(shù)，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是難度不大的綜合題目．