Question

若函數(shù)f（x）滿足：存在T∈R，T≠0，對定義域內(nèi)的任意x，f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，則稱f（x）為T函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①y=

1

x

； 
②y=2^x；
③y=1nx；
④y=sinx；
⑤y=x²
其中為T函數(shù)的序號是

 

．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件令x=0，可得：f（0+T）=f（0）+f（T），則f（0）=0；f（T）是常數(shù)．
若f（T）＞0，則函數(shù)是增函數(shù)；若f（T）=0，則函數(shù)是周期函數(shù)；若f（T）＜0，則函數(shù)是減函數(shù)；
通過賦值法，求出f（0）的函數(shù)值，逐一判斷5個(gè)函數(shù)即可判斷①②③⑤不正確，④正確．

解答： 解：函數(shù)f（x）滿足：存在T∈R，T≠0，對定義域內(nèi)的任意x，f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，
令x=0，可得：f（0+T）=f（0）+f（T），∴f（0）=0；f（T）是常數(shù)．
若f（T）＞0，則函數(shù)是增函數(shù)；
若f（T）=0，則函數(shù)是周期函數(shù)；
若f（T）＜0，則函數(shù)是減函數(shù)；
①y=

1

x

；x=0函數(shù)沒有意義，在定義域內(nèi)，不是增函數(shù)、減函數(shù)、周期函數(shù)，∴①不正確； 
②y=e^x；f（0）=1，②不正確；
③y=lnx；x=0函數(shù)沒有意義，函數(shù)是增函數(shù)，但是從變化趨勢看不是線性關(guān)系，∴③不正確；
④y=sinx；f（0）=0，并且函數(shù)是周期函數(shù)，符合題意；④正確．
⑤y=x²；f（0）=0，在定義域內(nèi)，不是增函數(shù)、減函數(shù)、周期函數(shù)，⑤不正確．
綜上所述，屬于為T函數(shù)的序號是④．
故答案為：④．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性、單調(diào)性，新定義的理解與掌握是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意特值法的應(yīng)用．