【題目】如圖四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,BC=4 ,PA=2,點(diǎn)M在線段PD上.

(1)求證:AB⊥PC.
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°,求BM與平面PAC所成的角的正弦值.

【答案】
(1)證明:設(shè)E為BC的中點(diǎn),連接AE,則AD=EC,AD∥EC,

∴四邊形AECD為平行四邊形,

∴AE⊥BC

∵AE=BE=EC=2 ,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∴AB⊥AC,

∵PA⊥平面ABCD,AB平面ABCD,

∴AB⊥PA

∵AC∩PA=A,

∴AB⊥平面PAC,

∴AB⊥PC


(2)解:設(shè)AC∩BD=O,連接OP,過點(diǎn)M作MN⊥AD,過點(diǎn)N作NG⊥AC于G,連接MG,則MN∥PA,

由PA⊥平面ABCD,可得MN⊥平面ABCD,

∴MN⊥AC,

∵NG⊥AC,MN∩NG=N,

∴AC⊥平面MNG,

∴AC⊥MG,

∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°

設(shè)MN=x,則NG=AG=x,∴AN=ND= x,

可得M為PD的中點(diǎn),連接PO交BM于H,連接AH,

由(1)AB⊥平面PAC,∴∠BHA是BM與平面PAC所成的角

在△ABM中,AB=4,AM= PD= ,BM=3

∴cos∠ABM= ,

∵∠BHA與∠ABM互余,

∴BM與平面PAC所成的角的正弦值為


【解析】(1)證明兩條異面直線互相垂直,只需證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可;(2)通過作輔助線在圖中表示出所給和要求的二面角,再結(jié)合所給條件進(jìn)行求值即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】為迎接2017年“雙11”,“雙12”購(gòu)物狂歡節(jié)的來臨,某青花瓷生產(chǎn)廠家計(jì)劃每天生產(chǎn)湯碗、花瓶、茶杯這三種瓷器共100個(gè),生產(chǎn)一個(gè)湯碗需5分鐘,生產(chǎn)一個(gè)花瓶需7分鐘,生產(chǎn)一個(gè)茶杯需4分鐘,已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí).若生產(chǎn)一個(gè)湯碗可獲利潤(rùn)5元,生產(chǎn)一個(gè)花瓶可獲利潤(rùn)6元,生產(chǎn)一個(gè)茶杯可獲利潤(rùn)3元.
(1)使用每天生產(chǎn)的湯碗個(gè)數(shù)x與花瓶個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)ω(元);
(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?

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A.{﹣2}∪[2,+∞)
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C.[2,+∞)
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(1)當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元?

(2)設(shè)一次訂購(gòu)量為個(gè),零件的實(shí)際出廠單價(jià)為元,寫出函數(shù)的表達(dá)式;

(3)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí),該廠獲得的利潤(rùn)是多少元? (工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)=實(shí)際出廠單價(jià)-單件成本)

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