Question

f（x）=（ax²+x-1）e^x
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=-1，f（x）的圖象與g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論a與0的大小關(guān)系，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令h（x）=f（x）-g（x），求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，和極值，函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)h（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．

解答： 解：（1）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=axe^x（x+

2a+1

a

），且a＜0，
∴當(dāng)a∈（-

1

2

，0）時(shí)，f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，-

2a+1

a

）上是增函數(shù)，在（-

2a+1

a

，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a∈（-∞，-

1

2

）時(shí)，f（x）在（-∞，-

2a+1

a

）上是減函數(shù)，在（-

2a+1

a

，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（

1

3

x³+

1

2

x²+m），
則h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）=-（e^x+1）（x²+x）
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1．
∴h（x）在x=-1處取得極小值h（-1）=-

3

e

-

1

6

-m，在x=0處取得極大值h（0）=-1-m，
∵函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)h（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴

h(-1)＜0 h(0)＞0

即

- 3 e - 1 6 -m＜0 -1-m＞0

，
解得：-

3

e

-

1

6

＜m＜-1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值，考慮極值的正負(fù)來判斷函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．