Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=-2n-1．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若{b_n}滿足b_n+1=b_n+na_n，b₁=1，求b_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）在已知數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，和原遞推式作差后即可證得數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n+1=b_n+na_n后利用累加法得到{b_n}的表達(dá)式，然后利用分組求和及錯(cuò)位相減法求和得答案．

解答： （Ⅰ）證明：由a_n+S_n=-2n-1，得
a_n-1+S_n-1=-2（n-1）-1（n≥2），
則a_n-a_n-1+a_n=-2，2a_n-a_n-1=-2，
∴2a_n+4=a_n-1+2，an+2=

1

2

(an-1+2)，
在a_n+S_n=-2n-1中取n=1，得a1=-

3

2

，
∴數(shù)列{a_n+2}是以a1+2=

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，an+2=(

1

2

)n，
∴an=(

1

2

)n-2，
則b_n+1=b_n+na_n=bn+n[(

1

2

)n-2n]，
即bn+1-bn=n(

1

2

)n-2n2，
∴b2-b1=1×(

1

2

)-2×12，
b3-b2=2×(

1

2

)2-2×22，
…
bn-bn-1=(n-1)(

1

2

)n-1-2(n-1)2（n≥2），
累加得：bn=1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1-2×

1

6

(n-1)n[2(n-1)+1]．
令Sn=1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1，
則

1

2

Sn=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n，
∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-(n-1)(

1

2

)n=

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(n-1)(

1

2

)n，
∴Sn=2-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

．
則bn=2-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

-

1

3

(2n3-3n2+n)．
驗(yàn)證b₁=1不適合上式，
∴bn=

1，n=1 2- 1 2n-2 - n-1 2n-1 - 1 3 (2n3-3n2+n)，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．