【題目】設函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若,且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

(2)若，試判斷函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】(1) ；(2)函數(shù)沒有零點.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，記，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；（2）求出，記，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到在區(qū)間遞增，從而求出的最小值大于0，判斷出函數(shù)無零點即可.

試題解析：(1)∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

∴在區(qū)間內(nèi)恒成立.

即在區(qū)間內(nèi)恒成立.

記，則恒成立，

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,

∴，∴，即實數(shù)的取值范圍為.

(2)∵， ，

記，則，

知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

又∵， ，

∴在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，

即，

于是， .

當時， 單調(diào)遞減；

當時， 單調(diào)遞增.

∴

，

當且僅當時，取等號.

由，得，

∴，即函數(shù)沒有零點.

練習冊系列答案
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