Question

16．已知O為坐標原點，實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≤0}\\{3x+4y≤12}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，P（x，y）為該不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)任意一點，使z=x+2y取最大值的點為A點，則|OP|•|AO|•cos∠AOP的最大值等于（　　）

• A． $\frac{97}{16}$
• B． $\frac{11}{2}$
• C． $\frac{167}{28}$
• D． $\frac{38}{7}$

Answer 1

分析 通過約束條件可知A（1，$\frac{9}{4}$）使z=x+2y取最大值，進而利用向量數(shù)量積的定義可得結論．

解答 解：依題意，約束條件為△ABC，其中三個頂點坐標為（1，$\frac{9}{4}$）、（1，2）、（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∵使z=x+2y取最大值的點為A點，
∴A（1，$\frac{9}{4}$），不妨記B（1，2）、C（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∵|OP|•|AO|•cos∠AOP=|OP|•|OA|•cos∠AOP=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$，
∴當P與點A重合時$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$最大，
最大值為$\sqrt{（1-0）^{2}+（\frac{9}{4}-0）^{2}}$=$\frac{97}{16}$，
故選：A．

點評 本題考查簡單線性規(guī)劃，考查平面向量數(shù)量積，注意解題方法的積累，屬于中檔題．