已知，a，b，c＞0，求證：a
3+b
3+c
3≥
(a2+b2+c2)（a+b+c）．
考點：不等式的證明
專題：推理和證明
分析：利用作差法，易證3（a
3+b
3+c
3）-（a
2+b
2+c
2）（a+b+c）=（a+b）（a-b）
2+（b+c）（b-c）
2+（a+c）（a-c）
2，又a，b，c＞0，從而可得a
3+b
3+c
3≥
(a2+b2+c2)（a+b+c）．
解答：
證明：3（a
3+b
3+c
3）-（a
2+b
2+c
2）（a+b+c）
=3（a
3+b
3+c
3）-（a
3+b
3+c
3+a
2b+b
2a+a
2c+c
2a+b
2c+c
2b）
=[（a
3+b
3）-（a
2b+b
2a）]+[（b
3+c
3）-（b
2c+c
2b）]+[（a
3+c
3）-（a
2c+c
2a）]，
=[（a+b）（a
2-ab+b
2）-ab（a+b）]+[（b+c）（b
2-bc+c
2）-bc（b+c）]+[（a+c）（a
2-ac+c
2）-ac（a+c）]
=（a+b）（a-b）
2+（b+c）（b-c）
2+（a+c）（a-c）
2，
∵a，b，c＞0，
∴a+b＞0，（a-b）
2≥0，
∴（a+b）（a-b）
2≥0，同理可得（b+c）（b-c）
2≥0，（a+c）（a-c）
2≥0，
∴（a+b）（a-b）
2+（b+c）（b-c）
2+（a+c）（a-c）
2≥0，
∴a
3+b
3+c
3≥
(a2+b2+c2)（a+b+c）．
點評：本題考查不等式的證明，考查作差法的應(yīng)用，考查立方差公式與平方差公式的綜合應(yīng)用，考查變形、推理能力，屬于中檔題．
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