Question

已知函數(shù)f（x）=

∫

x 1

（sint-lgt）dt（x＞1），則f（x）的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：首先利用定積分求出函數(shù)f（x），然后再求導(dǎo)，繪制出導(dǎo)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得出f（x）的單調(diào)區(qū)間，和f′（x）=0的點(diǎn)，繼而求出函數(shù)的極值點(diǎn)．

解答： 解：f（x）=

∫

x 1

（sint-lgt）dt=

∫

x 1

[sint+ln10-[ln10-lgt）]dt=（-cost+ln10•t-tlgt）

|

x 1

=-cosx+ln10•x-xlnx+cos1-ln10
∴f′（x）=sinx-lgx，
繪制導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示

由圖象可知當(dāng)x在點(diǎn)A，B，C出sinx與lgx有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為a，b，c
則當(dāng)x=a，x=b，x=c時(shí)，f′（x）=0，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即在（0，a）或（b，c）函數(shù)f（x）為憎函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即在（a，b）或（c，+∞）函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
故在x=a或x=c時(shí)函數(shù)f（x）有極大值．
故f（x）的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的問題，本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．