Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M過坐標(biāo)原點O且圓心在曲線y=

3

x

上．
（Ⅰ）若圓M分別與x軸、y軸交于點A、B（不同于原點O），求證：△AOB的面積為定值；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=-

3

3

x+4與圓M 交于不同的兩點C，D，且|OC|=|OD|，求圓M的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線y=

3

與（Ⅱ）中所求圓M交于點E、F，P為直線x=5上的動點，直線PE，PF與圓M的另一個交點分別為G，H，求證：直線GH過定點．

Answer 1

考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)圓M的方程為(x-t)2+(y-

3

t

)2=t2+

3

t2

，求出圓M分別與x軸、y軸交于點A、B的坐標(biāo)，利用面積公式，可得：△AOB的面積為定值；
（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再驗證，即可求圓M的方程；
（Ⅲ）設(shè)P（5，y₀），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），整理得2x₁x₂-7（x₁+x₂）+20=0．①設(shè)直線GH的方程為y=kx+b，代入(x-1)2+(y-

3

)2=4，利用韋達(dá)定理，確定直線方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)圓M的方程為(x-t)2+(y-

3

t

)2=t2+

3

t2

，
即x2+y2-2tx-

2 3

t

y=0．
令x=0，得y=

2 3

t

；令y=0，得x=2t．
∴S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

|2t|•|

2 3

t

|=2

3

（定值）．…（4分）
（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l．
所以kOM=

3

t2

=

3

，解得t=±1．
當(dāng)t=1時，圓心M(1，

3

)到直線l：y=-

3

3

x+4的距離d=2(

3

-1)小于半徑，符合題意；
當(dāng)t=-1時，圓心M(-1，-

3

)到直線l：y=-

3

3

x+4的距離d=2(

3

+1)大于半徑，不符合題意．
所以，所求圓M的方程為(x-1)2+(y-

3

)2=4．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)P（5，y₀），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），又知E(-1，

3

)，F(3，

3

)，
所以kPE=

y0- 3

6

=

y1- 3

x1+1

=kGE，kPF=

y0- 3

2

=

y2- 3

x2-3

=kFH．
因為3k_PE=k_PF，所以9×

(y1- 3 )2

(x1+1)2

=

(y2- 3 )2

(x2-3)2

．
將(y1-

3

)2=4-(x1-1)2，(y2-

3

)2=4-(x2-1)2代入上式，
整理得2x₁x₂-7（x₁+x₂）+20=0．①
設(shè)直線GH的方程為y=kx+b，代入(x-1)2+(y-

3

)2=4，
整理得(1+k2)x2+(2kb-2

3

k-2)x+b2-2

3

b=0．
所以x1+x2=-

2kb-2 3 k-2

1+k2

，x1•x2=

b2-2 3 b

1+k2

．
代入①式，并整理得b2+(7k-2

3

)b+10k2-7

3

b+3=0，
即(b+2k-

3

)(b+5k-

3

)=0，
解得b=

3

-2k或b=

3

-5k．
當(dāng)b=

3

-2k時，直線GH的方程為y=k(x-2)+

3

，過定點(2，

3

)；
當(dāng)b=

3

-5k時，直線GH的方程為y=k(x-5)+

3

，過定點(5，

3

)…（14分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．