Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx，f₁（x）=$\frac{1}{6}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{9}$lnx，f₂（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，a∈R．若f（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先令p（x）=f（x）-f₂（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x2-2ax+lnx＜0，對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，從而得出：要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足p（1）=-a-$\frac{1}{2}$≤0，由此解得a的范圍即可．

解答 解：令$p（x）=f（x）-{f_2}（x）=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$＜0，對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
因?yàn)?p'（x）=（2a-1）x-2a+\frac{1}{x}=\frac{{（2a-1）{x^2}-2ax+1}}{x}=\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$（*）
令p′（x）=0，得極值點(diǎn)x₁=1，${x_2}=\frac{1}{2a-1}$，
①當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，有x₂＞x₁=1，即$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，在（x₂，+∞）上有p′（x）＞0，
此時(shí)p（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
②當(dāng)a≥1時(shí)，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
③當(dāng)$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，有2a-1≤0，此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足$p（1）=-a-\frac{1}{2}≤0$$⇒a≥-\frac{1}{2}$，
所以$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$．
綜上可知a的范圍是$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．