Question

10．如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1、2，AB=4．
（1）證明：PQ⊥平面ABCD；
（2）求異面直線AQ與PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，由正四棱錐性質(zhì)得PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD，由此能證明PQ⊥平面ABCD．
（2）以直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AQ與PB所成的角的余弦值．

解答 （1）證明：連結(jié)AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，
由P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，
所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD，
從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，
所以PQ⊥平面ABCD；
（2）解：由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
由（1），PQ⊥平面ABCD，
故可以分別以直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系（如右圖），
由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，1），
Q（0，0，-2），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
所以$\overrightarrow{AQ}=（-2\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{PB}$=（0，2$\sqrt{2}$，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AQ}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴異面直線AQ與PB所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．