Question

16．函數(shù)f（x）在點x₀處有定義，是當(dāng)x→x₀時f（x）有極限的（　　）

• A． 必要條件
• B． 充分條件
• C． 充要條件
• D． 無關(guān)條件

Answer 1

分析 由題意看命題f（x）在x=x₀處連續(xù)與命題f（x）在x=x₀處有定義是否能互推，然后根據(jù)必要條件、充分條件和充要條件的定義進(jìn)行判斷，
由“函數(shù)f（x）在點x=x₀處連續(xù)”可得“函數(shù)f（x）在點x=x₀處有極限”．通過舉反例可得由“函數(shù)f（x）在點x=x₀處有極限”，不能推出“函數(shù)f（x）在點x=x₀處連續(xù)”，由此得出結(jié)論．

解答 解：由f（x）在點x=x₀處連續(xù)的定義，可知f（x）在點x=x₀處連續(xù)⇒函數(shù)f（x）在點x=x₀處有定義；
反之不成立．故為必要而不充分的條件，
由“函數(shù)f（x）在點x=x₀處連續(xù)”可得“函數(shù)f（x）在點x→x₀處有極限”．
但由“函數(shù)f（x）在點x→x₀處有極限”，不能推出“函數(shù)f（x）在點x=x₀處連續(xù)”，
例如f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＞0}\\{2，x=0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$在x→0處有極限為0，但f（x）在x=0處不連續(xù)．
故“函數(shù)f（x）在點x=x₀處連續(xù)”是“函數(shù)f（x）在點x→x₀處有極限”的充分而不必要條件，
故函數(shù)f（x）在點x₀處有定義，是當(dāng)x→x₀時f（x）有極限的無關(guān)條件，
故選：D．

點評 本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義和判斷方法，函數(shù)在某點連續(xù)與函數(shù)在某點有極限的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．