Question

【題目】如圖，OA是南北方向的一條公路，OB是北偏東45°方向的一條公路，某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線C．為方便游客光，擬過(guò)曲線C上的某點(diǎn)分別修建與公路OA，OB垂直的兩條道路PM，PN，且PM，PN的造價(jià)分別為5萬(wàn)元/百米，40萬(wàn)元/百米，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xoy，則曲線符合函數(shù)y=x+ （1≤x≤9）模型，設(shè)PM=x，修建兩條道路PM，PN的總造價(jià)為f（x）萬(wàn)元，題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為百米．

（1）求f（x）解析式；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，總造價(jià)f（x）最低？并求出最低造價(jià)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，因?yàn)榍�線C的方程為 ，

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為 ，

直線OB的方程為x﹣y=0，

則點(diǎn)P到直線x﹣y=0的距離為 ，

又PM的造價(jià)為5萬(wàn)元/百米，PN的造價(jià)為40萬(wàn)元/百米．

則兩條道路總造價(jià)為

（2）

解：因?yàn)? ，

所以 ，

令f'（x）=0，得x=4，列表如下：

x	（1，4）	4	（4，9）
f'（x）	﹣	0	﹣
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，最小值為 ．

答：（1）兩條道路PM，PN總造價(jià)f（x）為 （1≤x≤9）；

（2）當(dāng)x=4時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為30萬(wàn)元．

（注：利用三次均值不等式 ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=4時(shí)等號(hào)成立，照樣給分．）

【解析】（1）求出P的坐標(biāo)，直線OB的方程，點(diǎn)P到直線x﹣y=0的距離，即可求f（x）解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)的方法最低造價(jià)．