Question

14．命題p：?x∈R，|x-1|+|x+1|≥a，命題q：?x∈R，使得不等式log₂（x²-2x+17）＜a有解，命題p，q有且僅有一個(gè)命題成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)于命題p：|x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，-1＜x＜1}\\{-2x，x≤-1}\end{array}\right.$，由于?x∈R，|x-1|+|x+1|≥a，可得（|x-1|+|x+1|）_min≥a．
對(duì)于命題q：利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得：x²-2x+17=（x-1）²+16≥16，由于x∈R，使得不等式log₂（x²-2x+17）＜a有解，可得$[lo{g}_{2}（{x}^{2}-2x+17）]_{min}$＜a．
命題p，q有且僅有一個(gè)命題成立，即p與q必然一真一假．解出即可．

解答 解：對(duì)于命題p：|x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，-1＜x＜1}\\{-2x，x≤-1}\end{array}\right.$，可得（|x-1|+|x+1|）_min=2，∵?x∈R，|x-1|+|x+1|≥a，∴2≥a．
對(duì)于命題q：∵x²-2x+17=（x-1）²+16≥16，∴x²-2x+17≥16．∵?x∈R，使得不等式log₂（x²-2x+17）＜a有解，∴l(xiāng)og₂16＜a，即a＞4．
命題p，q有且僅有一個(gè)命題成立，即p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞4}\end{array}\right.$，
解得a≤2或a＞4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2或a＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、含絕對(duì)值的不等式的解法、二次函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．