Question

4．已知M，N，P分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱，AB，A₁D₁，BB₁上的動點，試過M，N，P三點作正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面．

Answer 1

分析 延長MP交A₁B₁的延長線于E，連NE交B₁C₁于F，延長FP交CB的延長線于G，再延長GM交AD于H．則NFPMH就是所要求作的截面．這類題目的解決，關鍵是找出截面要穿過的棱及其截點．

解答 解：作法：
延長MP交A₁B₁的延長線于E，連NE交B₁C₁于F，
延長FP交CB的延長線于G，再延長GM交AD于H．
則NFPMH就是所要求作的截面．
證明：
∵E在MP的延長線上，∴N、E、P、M共面．
∵E在A₁B₁的延長線上，∴E在平面A₁B₁C₁D₁上，又N為A₁D₁的中點，∴NE必與B₁C₁相交．
∴點F為平面A₁B₁C₁D₁、平面B₁C₁CB、平面MNP的公共點．
∴點F是平面MNP在B₁C₁上的截點．
∵點F是平面MNP在B₁C₁上的截點，∴點F在平面MNP上．
而點G在FP的延長線上，∴G在平面MNP上．
∵G在CB的延長線上，∴G在平面ABCD上，又M是AB的中點，∴GM的延長線必與AD相交．
∴點H為平面ABCD、平面AA₁D₁D、平面MNP的公共點．
∴點H是平面MNP在AD上的截點．
∴NFPMH為所要求作的截面．

點評 本題考查滿足條件的正方體的截面的作法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．