Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=

3

，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，然后根據(jù)正弦定理化簡已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化簡后求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由A為60°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=

3

中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由B的范圍，求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B為60°，可得出三角形ABC三個角相等，都為60°，則三角形ABC為等邊三角形．

解答：解：（Ⅰ）由2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC，
利用正弦定理化簡得：2a²=（2b-c）b+（2c-b）c，…（2分）
整理得：bc=b²+c²-a²，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，…（4分）
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=60°；…（5分）
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，A=60°，
∴B+C=180°-60°=120°，即C=120°-B，…（6分）
代入sinB+sinC=

3

得：sinB+sin（120°-B）=

3

，…（7分）
∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=

3

，…（8分）
∴

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

，即sin（B+30°）=1，…（10分）
∴0＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴B+30°=90°，即B=60°，…（11分）
∴A=B=C=60°，
則△ABC為等邊三角形．…（12分）．

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等邊三角形的判定，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．