Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點，F(xiàn)為AE的中點．現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列兩問：

（Ⅰ）在線段AB上是否存在一點K，使BC∥面DFK？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）若面ADE⊥面ABCE，求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）線段AB上存在一點K，且當AK=

1

4

AB時，BC∥面DFK．取H為AB的中點，連接EH，可得BC∥EH．利用三角形的中位線定理可證明FK∥EH，于是得到FK∥BC，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）通過建立如圖所示的空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答： 解：（Ⅰ）線段AB上存在一點K，且當AK=

1

4

AB時，BC∥面DFK．
證明如下：
設H為AB的中點，連接EH，則BC∥EH
又∵AK=

1

4

AB，F(xiàn)為AE的中點
∴KF∥EH，∴KF∥BC，
∵KF?面DFK，BC?面DFK，∴BC∥面DFK．
（Ⅱ）∵H為AB的中點，∴AH=HE=BC=1，
∵F為AE的中點，∴FH⊥AE．
∵DA=DE=1，∴DF⊥AE，
∵面ADE⊥面ABCE，∴DF⊥面ABCE
由此可以FA，F(xiàn)H，F(xiàn)D分別為x，y，z軸，建立坐標系如圖．
∵DF⊥面ABCE，∴DF⊥FH，
又∵FH⊥AE，DF∩AE=F，∴FH⊥面ADE，則

FH

為面ADE的一個法向量．
∵AB=2，BC=1，∴FH=

2

2

，

FH

=(0，

2

2

，0)．
又可得：D(0，0，

2

2

)，A(

2

2

，0，0)，
∴

AD

=(-

2

2

，0，

2

2

)，

AH

=(-

2

2

，

2

2

，0)．
設面ADB的法向量為

n

=(x，y，z)
由

n • AD =0 n • AH =0

⇒

- 2 2 x+ 2 2 z=0 - 2 2 x+ 2 2 y=0

，即

-x+z=0 -x+y=0

，令x=1，則

n

=(1，1，1)．
所以cos＜

FH

，

n

＞=

2 2

3 × 2 2

=

3

3

，
故二面角E-AD-B的余弦值為

3

3

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過建立如圖所示的空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關鍵．