Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)、，求證：；

（3）設(shè)，函數(shù)的反函數(shù)為，令，、、，，且，若時，對任意的且，恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）具體詳見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對與的大小進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求得，由題意可知方程有兩個不等的正根、，可求得的取值范圍，并列出韋達(dá)定理，進(jìn)而可得出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出即可；

（3）根據(jù)題意得出，進(jìn)而可得，、、，，且，由已知條件得出，分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出，進(jìn)而可求得的最小值.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時，由得；由，得.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)時，由得；由得或.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；

③當(dāng)時，對任意的恒成立，此時，函數(shù)在單調(diào)遞減；

④當(dāng)時，由得；由得或.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；

（2）證明：，

由已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)、，知有兩個不等的正實(shí)數(shù)根，

即有兩個不等正實(shí)數(shù)根，即，解得，

，

令，，

，

因?yàn)?/span>，所以，，

所以在單調(diào)遞增，，結(jié)論得證；

（3）當(dāng)時，，則，

所以，、、，，且，

對，恒成立，

即，即，

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，所以也遞減，

當(dāng)時，，

即對任意且，恒成立，

顯然當(dāng)時，，即，即，所以的最小值為．