Question

12．如圖，正方形A₁BCD折成直二面角A-BD-C，則二面角A-CD-B的余弦值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由已知可得AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出平面ACD和平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-CD-B的余弦值．

解答 解：∵正方形A₁BCD的對角線BD為棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，
連接BD，A₁C，相交于O，
則AO⊥BD，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD
∴AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，
如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz．
設正方形的棱長為1，
則O（0，0，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
$\overrightarrow{OA}$=（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）是平面BCD的一個法向量．
$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{CD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）
設平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{z=x}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=1，z=1，
解得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
從而|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{OA}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
二面角A-CD-B的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：B

點評 本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，解答的關鍵是分別求出平面ACD和平面BCD的法向量，利用向量法是解決空間二面角大小的基本方法．