Question

7．如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB．
（1）求AD₁與面BB₁D₁D所成角的正弦值；
（2）點E在側棱AA₁上，若二面角E-BD-C₁的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求$\frac{AE}{{A{A_1}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD₁與面BB₁D₁D所成角的正弦值；
（2）求出平面的法向量，根據二面角與平面法向量之間的關系進行求解即可．

解答 解：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz．
設AB=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），
B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），
A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2）．
（1）設AD₁與面BB₁D₁D所成角的大小為θ，$\overrightarrow{A{D_1}}=（-1，0，2）$，
設平面BB₁D₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{D{D_1}}=（0，0，2）$，
則$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{DB}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=0$，即x+y=0，z=0．
令x=1，則y=-1，所以n=（1，-1，0），
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以AD₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（2）設E（1，0，λ），0≤λ≤2．
設平面EBD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），平面BDC₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），$\overrightarrow{DB}=（1，1，0），\overrightarrow{DE}=（1，0，λ）$，
由$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}$=0，得x₁+y₁=0，x₁+λz₁=0，
令z₁=1，則x₁=-λ，y₁=λ，n₁=（-λ，λ，1），$\overrightarrow{D{C_1}}=（0，1，2）$，
由$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=0$，得x₂+y₂=0，y₂+2z₂=0，
令z₂=1，則x₂=2，y₂=-2，n₂=（2，-2，1），
cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1-4λ}{3\sqrt{2{λ}^{2}+1}}$，
所以$\frac{{\sqrt{3}}}{3}=|\frac{1-4λ}{{3\sqrt{2{λ^2}+1}}}|$，得λ=1．
所以$\frac{AE}{{A{A_1}}}=\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查直線和平面所成角的求解以及二面角的應用，建立坐標系，利用向量法是解決空間角的常用方法．