Question

7．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線y=x+$\sqrt{2}$與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=$\frac{1}{2}$與橢圓C交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓D，若圓D與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABD的面積；
（3）如圖，A₁，A₂，B₁，B₂是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線B₂P交x軸于點F，直線A₁B₂交A₂P于點E，設(shè)A₂P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2m-k為定值．

Answer 1

分析 （1）由于直線y=x+$\sqrt{2}$與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切，可得$\frac{|0-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=b，解得b．又離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）把x=$\frac{1}{2}$代入橢圓方程可得：${y}^{2}=1-\frac{1}{16}$，可得⊙D的方程為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{15}{16}$．令x=0，解得y，可得|AB|，利用S_△ABD=$\frac{1}{2}|AB|•|OD|$即可得出．
（3）由（1）知：A₁（-2，0），A₂（2，0），B₂（0，1），可得直線A₁B₂AD的方程，設(shè)直線A₂P的方程為y=k（x-2），k≠0，且k≠$±\frac{1}{2}$，聯(lián)立解得E．設(shè)P（x₁，y₁），與橢圓方程聯(lián)立可得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．解得P．設(shè)F（x₂，0），則由P，B₂，F(xiàn)三點共線得，${k}_{{B}_{2}P}={k}_{{B}_{2}F}$．可得F．即可證明2m-k為定值．

解答 （1）解：∵直線y=x+$\sqrt{2}$與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切，
∴$\frac{|0-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=b，化為b=1．
∵離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²=1，聯(lián)立解得a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）解：把x=$\frac{1}{2}$代入橢圓方程可得：${y}^{2}=1-\frac{1}{16}$，解得y=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴⊙D的方程為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{15}{16}$．
令x=0，解得y=±$\frac{\sqrt{11}}{4}$，
∴|AB|=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}|AB|•|OD|$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{11}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{11}}{8}$．
（3）證明：由（1）知：A₁（-2，0），A₂（2，0），B₂（0，1），
∴直線A₁B₂的方程為$y=\frac{1}{2}x+1$，
由題意，直線A₂P的方程為y=k（x-2），k≠0，且k≠$±\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，解得$E（\frac{4k+2}{2k-1}，\frac{4k}{2k-1}）$．
設(shè)P（x₁，y₁），則由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
∴2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，∴x₁=$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$，y₁=k（x₁-2）=$\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$．
∴$P（\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}）$．
設(shè)F（x₂，0），則由P，B₂，F(xiàn)三點共線得，${k}_{{B}_{2}P}={k}_{{B}_{2}F}$．
即$\frac{\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}-1}{\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}-0}$=$\frac{0-1}{{x}_{2}-0}$，∴x₂=$\frac{4k-2}{2k+1}$，∴F$（\frac{4k-2}{2k+1}，0）$．
∴EF的斜率m=$\frac{\frac{4k}{2k-1}-0}{\frac{4k+2}{2k-1}-\frac{4k-2}{2k+1}}$=$\frac{2k+1}{4}$．
∴2m-k=$\frac{2k+1}{2}$-k=$\frac{1}{2}$為定值．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、斜率計算公式、弦長公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．