如圖,橢圓(a＞b＞0)與過點A(2,0),B(0,1)的直線有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率e=,

(1)求橢圓的方程;

(2)設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,求證:|AT|2=|AF1||AF2|.

(1)解:過A、B的直線方程為+y=1,?

因為由題意得有唯一解,?

即(b2+a2)x2-a2x+a2-a2b2=0有唯一解,?

所以Δ=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0).?

故a2+4b2-4=0.?

又因為c=,?

即,?

所以a2=4b2.從而得a2=2,b2=,故所求的橢圓方程為+2y2=1.

(2)證明:由(1)得c=,所以F1(,0),F2(,0),?

由

解得x1=x2=1,?

因此T(1,).?

從而|AT|2=,?

因為|AF1|·|AF2|=,?

所以|AT| 2=|AF1|·|AF2|.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點，P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內的一點，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點，如果D恰是PB 的中點．
（1）求證：無論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過橢圓的上焦點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A、B、C分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的頂點和焦點，若∠ABC=90°，則該橢圓的離心率為
-1+
5
2
-1+
5
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•九江二模）如圖，A、B分別是橢圓
x2
4
+y2=1和雙曲線
x2
4
-y2=1的公共左右頂點，P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點，設直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4且k1+k2+k3+k4=0．（1）求證：O、P、Q三點共線；（O為坐標原點）
（2）設F1、F2分別是橢圓和雙曲線的右焦點，已知PF1∥QF2，求k12+k22+k32+k42的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖橢圓 (a>b>0)的上頂點為A，左頂點為B, F為右焦點, 過F作平行與AB的直線交橢圓于C、D兩點. 作平行四邊形OCED, E恰在橢圓上．

（1）求橢圓的離心率；

    （2）若平行四邊形OCED的面積為, 求橢圓方程．

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