Question

19．若函數(shù)f（x）滿足f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，f（x）≠0，且x＞0時，f（x）＞1，已知f（4）=16．
（1）求f（0）和f（2）的值；
（2）求使不等式f（2x-3）f（2-3x）≤4成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（0）和f（2）的值；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，將不等式f（2x-3）f（2-3x）≤4進行轉(zhuǎn)化即可求出x的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）≠0
∴f（0）≠0，
令x=y，則f（x-x）=f（0）=$\frac{f（x）}{f（x）}=1$，
即f（0）=1，
令x=0，y=2，則f（-2）=$\frac{f（0）}{f（2）}=\frac{1}{f（2）}$，
即f（2）f（-2）=1，
∵x＞0時，f（x）＞1，
∴f（-2）＞0，f（2）＞0，
∵f（4）=16．
∴令x=2，y=-2，
則f（4）=f（2-（-2））=$\frac{f（2）}{f（-2）}$=f²（2）=16，
∴f（2）=4．
（2）∵f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，
∴設x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＞1，
則$\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}$=f（x₂-x₁）＞1，
即f（x₂）＞f（x₁），則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，
則不等式f（2x-3）f（2-3x）≤4等價為f（2x-3+2-3x）≤f（2），
即f（-x-1）≤f（2），
則-x-1≥2，即x≤-3，
即x的取值范圍是（-∞，-3]．

點評 本題主要考查不等式的求解以及抽象函數(shù)的應用，利用賦值法結合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．