Question

11．設(shè)θ為向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角，已知|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OQ}$=（1-t）$\overrightarrow{OB}$，且|$\overrightarrow{PQ}$|在t=$\frac{1}{4}$時(shí)取得最小值，則cosθ=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的加減運(yùn)算，向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，二次函數(shù)的最值求法，由對(duì)稱軸方程，即可得到最小值．

解答 解：|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$|
=|（1-t）$\overrightarrow{OB}$-t$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{（（1-t）\overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA}）^{2}}$
=$\sqrt{（1-t）^{2}+4{t}^{2}-2t（1-t）\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$
=$\sqrt{（1-t）^{2}+4{t}^{2}-4t（1-t）cosθ}$
=$\sqrt{（5+4cosθ）{t}^{2}-（2+4cosθ）t+1}$，
由題意可得，t=$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$=$\frac{1}{4}$時(shí)，取得最小值．
解得cosθ=$\frac{1}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，以及二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．