精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，頂點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點(diǎn)H、Q，求|HQ|．
分析：（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)推出 NC+NM=r=2
2
＞AC，再利用橢圓的定義知，點(diǎn)N的軌跡是以A、C 為焦點(diǎn)的橢圓，利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程．
（2）點(diǎn)斜式寫出直線l方程，代入曲線E的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求出|HQ|．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），∵
AM
=2
AP
，∴點(diǎn)P為AM的中點(diǎn)，
∵
NP
•
AM
=0，∴NP⊥AM，∴NP是線段AM的垂直平分線，∴NM=NA，
又點(diǎn)N在CM上，設(shè)圓的半徑是 r，則 r=2
2
，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=NC+NA=r=2
2
＞AC，∴點(diǎn)N的軌跡是以A、C 為焦點(diǎn)的橢圓，
∵2a=2
2
，c=1，∴b=1，∴橢圓 
x2
2
+y2=1，即曲線E的方程：
x2
2
+y2=1．
（2）∵過點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點(diǎn)H、Q，∴直線l方程為 y-0=x-1，
代入曲線E的方程得：3x2-4x=0，∴x1+x2=
2
3
，x1•x2=0，
由弦長公式得：|HQ|=
1+1
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
2
3
，
點(diǎn)評：本題考查用定義法求軌跡方程，及直線與橢圓的位置關(guān)系，利用弦長公式求出弦長，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點(diǎn)S（0，
1
3
）且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足
GP
=
GA
+
GB
使四邊形NAPB為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足AM=2AP，NP⊥AM，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足FG=
1
2
FH，求直線l的方程；
（3）設(shè)曲線E的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交曲線于Q，S兩點(diǎn)，過F2的直線交曲線于R，T兩點(diǎn)，且QS⊥RT，垂足為W；
（ⅰ）設(shè)W（x0，y0），證明：
x
2
0
2
+
y
2
0
＜1；
（ⅱ）求四邊形QRST的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ） 求曲線E的方程；
（Ⅱ） 若點(diǎn)B1（x1，y1），B2（-1，y2），B3（x3，y3）在曲線E上，線段B1B3的垂直平分線為直線l，且|B1A|，|B2A|，|B3A|成等差數(shù)列，求x1+x3的值，并證明直線l過定點(diǎn)；
（Ⅲ）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡方程是（　�。�
A、
x2
2
+y2=1
B、
x2
2
-y2=1
C、x2+
y2
2
=1
D、x2-
y2
2
=1

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