Question

某市為控制大氣PM2.5的濃度，環(huán)境部門規(guī)定：該市每年的大氣主要污染物排放總量不能超過55萬噸，否則將采取緊急限排措施．已知該市2013年的大氣主要污染物排放總量為40萬噸，通過技術(shù)改造和倡導綠色低碳生活等措施，此后每年的原大氣主要污染物排放量比上一年的排放總量減少10%．同時，因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加大氣主要污染物排放量脅（m＞0）萬噸．
（Ⅰ）從2014年起，該市每年大氣主要污染物排放總量（萬噸）依次構(gòu)成數(shù)列{a_n}，求相鄰兩年主要污染物排放總量的關(guān)系式；
（Ⅱ）證明：數(shù)列{a_n-10m}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）若該市始終不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)該市2013年的大氣主要污染物排放總量為40萬噸，通過技術(shù)改造和倡導綠色低碳生活等措施，此后每年的原大氣主要污染物排放量比上一年的排放總量減少10%．同時，因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加大氣主要污染物排放量脅（m＞0）萬噸，即可求相鄰兩年主要污染物排放總量的關(guān)系式；
（Ⅱ）由a_n+1=0.9a_n+m（n≥1），可得a_n+1-10m=0.9（a_n-10m），即可證明數(shù)列{a_n-10m}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）求出數(shù)列的通項，該市永遠不需要采取緊急限排措施，則有?n∈N^*，a_n≤550，分類討論，即可求m的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：由已知，a₁=40×0.9+m，a_n+1=0.9a_n+m（n≥1）
（Ⅱ）證明：∵a_n+1=0.9a_n+m（n≥1）
∴a_n+1-10m=0.9（a_n-10m），
∴數(shù)列{a_n-10m}是以36-9m為首項，0.9為公比的等比數(shù)列；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得a_n-10m=（36-9m）•0.9^n-1，
∴a_n=（36-9m）•0.9^n-1+10m．
由已知有?n∈N^*，a_n≤55
（1）當36-9m=0即m=4時，顯然滿足題意；
（2）當36-9m＞0，即m＜4時，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：（36-9m）×0.9⁰+10m≤55，解得m≤19，綜合得m＜4；
（3）當36-9m＜0即m＞4時，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：10m≤55，解得m≤5.5，綜合得4＜m≤5.5．
綜上可得所求范圍是m∈（0，5.5]．

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查數(shù)列知識，考查解不等式，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．