Question

設(shè)函數(shù)f（x）在定義域[-1，1]是奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=-3x²．
（1）當(dāng)x∈[0，1]，求f（x）；
（2）對任意a∈[-1，1]，x∈[-1，1]，不等式f（x）≤2cos²θ-asinθ+1都成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可求出當(dāng)x∈[0，1]，f（x）的表達式；
（2）將不等式恒成立，轉(zhuǎn)換為最值恒成立即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可知，f（-x）=-f（x），
設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，
則f（-x）=-3x²，
∴f（-x）=-3x²=-f（x），
即f（x）=3x²．
（2）由（1）知f（x）=

-3x2， x∈[-1，0) 3x2， x∈[0，1]

，
∵不等式f（x）≤2cos²θ-asinθ+1都成立，
∴f（x）_max≤2cos²θ-asinθ+1都成立，
∵f（x）_max=f（1）=3，
∴2cos²θ-asinθ+1≥3，
即2sin²θ+asinθ≤0，
設(shè)f（a）=2sin²θ+asinθ，
∵a∈[-1，1]，
∴

f(1)=2sin2θ+sinθ≤0 f(-1)=2sin2θ-sinθ≤0

，即

- 1 2 ≤sinθ≤0 0≤sinθ≤ 1 2

，
∴sinθ=0，
即θ=kπ，k∈Z．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的根據(jù)．