Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項(xiàng)，把或（）作為新數(shù)列的第項(xiàng)，數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．

（1）寫出的所有可能值；

（2）若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)于給定的，的所有可能值組成的集合為．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析.

【解析】

試題（1）列舉出數(shù)列所有可能情況，共種，分別計(jì)算和值為，本題目的初步感觀生成數(shù)列（2）已知和項(xiàng)解析式，則可利用求通項(xiàng). 當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才成立．所以（3）本題實(shí)際是對(duì)（1）的推廣.證明的實(shí)質(zhì)是確定集合的個(gè)數(shù)及其表示形式.首先集合的個(gè)數(shù)最多有種情形，而每一種的值都不一樣，所以個(gè)數(shù)為種情形，這是本題的難點(diǎn)，利用同一法證明. 確定集合的表示形式，關(guān)鍵在于說明分子為奇數(shù).由得分子必是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)數(shù)由范圍確定.

試題解析：解：（1）由已知，，，

∴，

由于，

∴可能值為． 3分

（2）∵，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

，， 5分

∵是的生成數(shù)列，

∴；；；

∴

在以上各種組合中，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才成立．

∴． 8分

（3）共有種情形．

，即，

又，分子必是奇數(shù)，

滿足條件的奇數(shù)共有個(gè)． 10分

設(shè)數(shù)列與數(shù)列為兩個(gè)生成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，從第二項(xiàng)開始比較兩個(gè)數(shù)列，設(shè)第一個(gè)不相等的項(xiàng)為第項(xiàng)．

由于，不妨設(shè)，

則

，

所以，只有當(dāng)數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)完全相同時(shí)，才有．12分

∴共有種情形，其值各不相同．

∴可能值必恰為，共個(gè)．

即所有可能值集合為． 13分

注：若有其它解法，請(qǐng)酌情給分】