Question

【題目】已知，（且），函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為1，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析 （2）

【解析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式求出函數(shù)的解析式，再對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負性分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）根據(jù)函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為1，利用導(dǎo)數(shù)可以求出的值，對進行求導(dǎo)，由函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，

問題可以轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)二次方程根的分布進行求解即可.

解：（1）由題意知定義域為，則

∴當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

（2）由得,，

∵函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，

有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi)

又∵函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，

由得，在上單調(diào)遞減，

所以；，由，解得；

綜上得：所以當(dāng)在內(nèi)取值時，對于任意，函數(shù)，在區(qū)間上總存在極值.