Question

解關(guān)于x的不等式：

x- 1 a

x2-x-2

＞0，（a≠0）．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題解分式不等式，先將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對根的大小進(jìn)行分類討論，結(jié)合根軸法研究，得到的一元三次不等式的解，即本題結(jié)論．

解答： 解：∵

x- 1 a

x2-x-2

＞0，（a≠0），
∴(x-

1

a

)(x2-x-2)＞0，
即 (x-

1

a

)(x+1)(x-2)＞0．
∴（1）當(dāng)

1

a

＜-1，即-1＜a＜0時(shí)，

1

a

＜x＜-1或x＞2；
（2）當(dāng)

1

a

=-1即a=-1時(shí)，（x+1）²（x-2）＞0，x＞2；
（3）當(dāng)-1＜

1

a

＜0，即a＜-1時(shí)，-1＜x＜

1

a

或x＞2；
（4）當(dāng)0＜

1

a

＜2，即a＞

1

2

時(shí)，-1＜x＜

1

a

或x＞2；
（5）當(dāng) 

1

a

=2，即a=

1

2

時(shí)，-1＜x＜2或x＞2；
（6）當(dāng)

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

時(shí)，-1＜x＜2或x＞

1

a

．
∴（1）當(dāng)a＜-1時(shí)，原不等式的解集為{x|-1＜x＜

1

a

或x＞2}；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，原不等式的解集為{x|x＞2}；
（3）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，原不等式的解集為{x|

1

a

＜x＜-1或x＞2}；
（4）當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，原不等式的解集為{x|-1＜x＜2或x＞

1

a

}；
（5）當(dāng) a=

1

2

時(shí)，原不等式的解集為{x|-1＜x＜2或x＞2}；
（6）當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，原不等式的解集為{x|-1＜x＜

1

a

或x＞2}．

點(diǎn)評：本題解分式不等式，主要體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，先將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對一元三次不等式進(jìn)行分類研究，即可得本題的解．