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若正數項數列的前項和為，首項，點在曲線上.
（1）求；
（2）求數列的通項公式；
（3）設,表示數列的前項和,若恒成立，求及實數的取值范圍.

（1），.；（2）；（3），.

解析試題分析：（1）分別取和，可求；（2）將點P代入曲線方程，化簡，可得：，從而數列是以為首項，1為公差的等差數列，可求得；（3）用裂項相消法可求解.
試題解析：（1）因為點在曲線上，所以.
分別取和，得到，
由解得，.
（2）由得.
所以數列是以為首項，1為公差的等差數列
所以，  即
由公式，得
所以
（3）因為，所以，



顯然是關于的增函數， 所以有最小值
由于恒成立，所以，
于是的取值范圍為.
考點：（1）數列前n項和與通項公式之間的關系；（2）等差數列的證明，等差數列的通項公式；（3）裂項相消法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

若數列滿足,則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列中，，點在函數的圖象上，其中為正整數．
（Ⅰ）證明數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中“平方遞推數列”的前項積為，即，求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，求數列的前項和，并求使的的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在數列中，（）．
（1）求的值；
（2）是否存在常數，使得數列是一個等差數列？若存在，求的值及的通項公式；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列的前項和為，，是與的等差中項（）.
（Ⅰ）證明數列為等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）是否存在正整數，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設是正數組成的數列,.若點在函數的導函數圖像上.
(1)求數列的通項公式；
(2)設,是否存在最小的正數,使得對任意都有成立？請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設數列{an}是等差數列，數列{bn}的前n項和Sn滿足且
（Ⅰ）求數列{an}和{bn}的通項公式：
（Ⅱ）設Tn為數列{Sn}的前n項和，求Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

數列滿足，且.
(1) 求數列的通項公式；
(2) 若，設數列的前項和為，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列中，，，若數列滿足.
（Ⅰ）證明：數列是等差數列，并寫出的通項公式；
（Ⅱ）求數列的通項公式及數列中的最大項與最小項.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點在函數圖象上，過點的切線的方向向量為（＞0）.
（Ⅰ）求數列的通項公式，并將化簡;
（Ⅱ）設數列的前n項和為Sn，若≤Sn對任意正整數n均成立，求實數的范圍.

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