已知A、B是圓x2+y2=1與x軸的兩個交點，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點P，問是否存在兩個定點E、F，使||PE|-|PF||為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．

解：由已知得A（-1，0）、B（1，0），
設(shè)P（x，y），C（x0，y0），則D（x0，-y0），
由A、C、P三點共線得 ①…（2分）
由D、B、P三點共線得 ②…（4分）
①×②得 ③
又 x02+y02=1，∴y02=1-x02 代入③得 x2-y2=1，
即點P在雙曲線x2-y2=1上，…（10分）
故由雙曲線定義知，存在兩個定點E（-，0）、
F（，0）（即此雙曲線的焦點），使||PE|-|PF||=2
（即此雙曲線的實軸長） 為定值．　…（13分）
分析：設(shè)P（x，y），C（x0，y0），則D（x0，-y0），由A、C、P三點共線得直線方程，由D、B、P三點共線得直線方程，將兩式相乘得 而 x02+y02=1，從而y02=1-x02 即點P在雙曲線x2-y2=1上，根據(jù)雙曲線定義知，存在兩個定點E（-，0），F(xiàn)（，0）滿足條件．
點評：本題主要考查了三點共線，以及雙曲線的性質(zhì)，同時考查了分析問題的能力和運算能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是圓x2+y2=4上滿足條件
OA
⊥
OB
的兩個點，其中O是坐標(biāo)原點，分別過A、B作x軸的垂線段，交橢圓x2+4y2=4于A1、B1點，動點P滿足
A1P
+2
PB1
=
0

（I）求動點P的軌跡方程
（II）設(shè)S1和S2分別表示△PAB和△B1A1A的面積，當(dāng)點P在x軸的上方，點A在x軸的下方時，求S1+S2的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•許昌三模）已知A，B是圓x2+y2=2上兩動點，O是坐標(biāo)原點，且∠AOB=120°，以A，B為切點的圓的兩條切線交于點P，則點P的軌跡方程為
x2+y2=8
x2+y2=8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖：已知A，B是圓x2+y2=4與x軸的交點，P為直線l：x=4上的動點，PA，PB與圓x2+y2=4的另一個交點分別為M，N．
（1）若P點坐標(biāo)為（4，6），求直線MN的方程；
（2）求證：直線MN過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是圓x2+y2=1與x軸的兩個交點，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點P，問是否存在兩個定點E、F，使||PE|-|PF||為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年吉林省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知A、B是圓x2+y2=4上滿足條件的兩個點，其中O是坐標(biāo)原點，分別過A、B作x軸的垂線段，交橢圓x2+4y2=4于A1、B1點，動點P滿足
（I）求動點P的軌跡方程
（II）設(shè)S1和S2分別表示△PAB和△B1A1A的面積，當(dāng)點P在x軸的上方，點A在x軸的下方時，求S1+S2的最大值．

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