Question

（2012•安徽模擬）已知

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

且滿足f(

π

2

)=1．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式及最小正周期；
（2）在銳角三角形ABC中，若f(

π

12

)=

2

sinA，且AB=2，AC=3，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標及f（x）=

a

•

b

，利用平面向量的數(shù)量積運算法則得出函數(shù)f（x）的解析式，根據f（

π

2

）=1，代入函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出m的值，進而確定出函數(shù)f（x）的解析式，提取

2

，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）由f(

π

12

)=

2

sinA，代入函數(shù)解析式，得出sinA的值，由A為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，再由AB及AC的長，利用余弦定理即可求出BC的長．

解答：解：（1）∵

a

=（m，1），

b

=（sinx，cosx）且f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=msinx+cosx，又f（

π

2

）=1，
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，
∴m=1，
∴f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π；
（2）∵f（

π

12

）=

2

sinA，
∴f（

π

12

）=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=

3

2

，
∵A是銳角三角形ABC的內角，
∴A=

π

3

，又AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•AC•cosA=3²+2²-2×2×3×

1

2

=7，
∴BC=

7

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．