Question

已知命題p：方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）表示的曲線是雙曲線；命題q：函數(shù)f（x）=x³-mx在區(qū)間（-∞，-1]上為增函數(shù)，若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，及函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系可求出命題p，q下的m的取值范圍，然后由p∨q為真命題，p∧q為假命題，得到p，q一真一假，討論p，q的真假情況，從而求出每種情況下的m的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：p：方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）表示的曲線是雙曲線，則有（m-1）（3-m）＜0；
解得：m＜1或m＞3；
q：函數(shù)f（x）=x³-mx在區(qū)間（-∞，-1]上為增函數(shù)，∴f'（x）=3x²-m≥0在區(qū)間（-∞，-1]上恒成立；
于是m≤（3x²）_min=3；
∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，∴p、q一真一假；
若p真q假，則

m＜1或m＞3 m＞3

，解得：m＞3；
若p假q真，則

1≤m≤3 m≤3

，解得：1≤m≤3；
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）

點評：考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．