Question

已知拋物線C：y²=4x與點M（-1，1），過C的焦點的直線與C交于A，B兩點，若

MA

•

MB

=0，則|AB|=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質,平面向量數量積的運算

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線C：y²=4x得焦點（1，0），設直線AB為x=my+1，與拋物線的方程聯立，可得根與系數的關系，再利用

MA

•

MB

=0，求出直線的斜率，利用弦長公式，即可求出|AB|．

解答： 解：由拋物線C：y²=4x得焦點（1，0），
由題意可知，設直線AB為x=my+1，
聯立，得到y(tǒng)²-4my-4=0，△＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
又

MA

=（x₁+1，y₁-1），

MB

=（x₂+1，y₂-1），
∴

MA

•

MB

=（m²+1）y₁y₂+（2m-1）（y₁+y₂）+5=-4（m²+1）+4m（2m-1）+5=0，
整理得（2m-1）²=0，
解得m=

1

2

．
∴直線方程為y=2x-2．
∴|AB|=

1+ 1 4

•

4+16

=5．
故答案為：5．

點評：本題綜合考查了拋物線的性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的數量積運算等基礎知識，涉及的知識點較多，綜合性較強，運算量較大．