Question

設(shè)命題P：復(fù)數(shù)z=(

1-i

1+i

)2-a(1-2i)+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限；
命題q：不等式|a-1|≥sinx對(duì)于x∈R恒成立；
如果“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：把復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)成a+bi（a，b∈R）的形式，由其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，即實(shí)部小于0且虛部大于0求出a的范圍；不等式
|a-1|≥sinx對(duì)于x∈R恒成立，即|a-1|≥1恒成立求出a的范圍，最后根據(jù)“p且q”為假命題，“p或q”為真命題分類取交集求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由已知得：若命題P為真，
則復(fù)數(shù)z=(

1-i

1+i

)2-a(1-2i)+i=(

(1-i)2

2

)2-a+2ai+i=-1-a+（2a+1）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
即：

-1-a＜0 2a+1＞0

，解得：a＞-

1

2

；
由不等式|a-1|≥sinx對(duì)于x∈R恒成立，
則|a-1|≥1恒成立，
若命題q為真，則|a-1|≥1，即：a≥2或a≤0．
∵“p且q”為假命題，“p或q”為真命題
∴命題p真q假或命題p假q真
∴

a＜- 1 2 0＜a＜2

，則：0＜a＜2；或

a≤- 1 2 a≥2或a≤0

，則a≤-

1

2

．
∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

1

2

]∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法，采用分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，考查了復(fù)合命題的真假判斷，命題p與命題q中只要有一個(gè)為假命題，則“p且q”為假命題，只要有一個(gè)為真命題，則“p或q”為真命題，此題是中檔題．