Question

給出下列命題中
①“?x∈R，3^x＞5”的否定是“?x∈R，3^x≤5”；
②命題“函數(shù)f（x） 在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是真命題；
③在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，若

AD

•

BC

=

1

2

(a2-ac)，則B=

π

3

；
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（5+x）=f（-x），(x-

5

2

)f′(x)＞0，已知x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要條件．
以上命題正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：①寫出特稱命題的否定，判斷命題①正確；
②寫出命題的否命題，舉例說明否命題為假命題，從而說明命題②是假命題；
③把向量

AD

，

BC

用基底

AB

，

AC

表示，代入向量模后得到a，b，c的關(guān)系，然后利用余弦定理求角B；
④先求出對稱軸，然后根據(jù)(x-

5

2

)f′(x)＞0，可判定函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可驗(yàn)證是充要條件．

解答： 解：對于①，“?x∈R，3^x＞5”的否定是“?x∈R，3^x≤5”．
命題①正確；
對于②，命題“函數(shù)f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是：
“函數(shù)f（x）在x=x₀處無極值，則f′（x₀）≠0”，為假命題，如f（x）=x³在x=0處無極值，但f′（0）=0．
∴命題②錯(cuò)誤；
對于③，如圖，

由

AD

•

BC

=

1

2

(a2-ac)，得

1

2

(

AB

+

AC

)•(

AC

-

AB

)=

1

2

(a2-ac)，
∴

AC

2-

AB

2=a2-ac，即b²-c²=a²-ac．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

．
∴B=

π

3

．
命題③正確；
對于④，∵f（5+x）=f（-x），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于x=

5

2

對稱，
∵(x-

5

2

)f′(x)＞0，
∴x＞

5

2

時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜

5

2

時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，若f（x₁）＞f（x₂），則有x₁＜x₂＜5-x₁，
∴x₁+x₂＜5成立，故條件充分；
當(dāng)x₁+x₂＜5時(shí)，必有x₂＜5-x₁成立，
又∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要．
∴f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要條件．
命題④正確．
∴正確命題的個(gè)數(shù)是3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值間的關(guān)系，訓(xùn)練了利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了平面向量在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．