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【題目】已知函數．

（1）探究函數在上的單調性；

（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

【答案】（1）當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減；

（2）.

【解析】

（1）對函數求導后，對分成三類，討論函數的單調性.（2）將原不等式轉化為當時，恒成立，構造函數，利用導數研究函數的單調性，由此求得的取值范圍.

（1）依題意，，

當時，，故；

當時，，故當時，，當時，；

當時，，故；

綜上：當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞減；

（2）由題意得，當時，恒成立；

令，

求導得，

設，則，

因為，所以，所以，

所以在上單調遞增，即在上單調遞增，

所以；

①當時，，此時，在上單調遞增，

而，所以恒成立，滿足題意；

②當時，，

而；

根據零點存在性定理可知，存在，使得.

當時，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以有，這與恒成立矛盾，舍去；

綜上所述，實數的取值范圍為.

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