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【題目】已知函數．

（1）若曲線在處切線與坐標軸圍成的三角形面積為，求實數的值；

（2）若，求證：．

【答案】（1）或；（2）見解析

【解析】

（1）利用導函數求出曲線在處切線，表示出切線與坐標軸圍成三角形面積即可求解；

（2）需證明的不等式通過作差轉化成證明，利用導函數單調性求出最小值即可得證.

（1），則為切線斜率．

又，∴切點為．∴曲線在處切成方程為．

當時，，當時，（易知）

則切線與坐標軸圍成三角形面積為．

∴得．

所以或．

（2）法一：時，

要證的不等式為，即．

令，則．

易知遞增，，，∴僅有一解且，即．

當時，，遞減；當時，，遞增．

從而最小值為∴，故原不等式成立．

法二：時，要證的不等式為．令，則．

故問題化為證不等式恒成立．時，

令，則，當時，，遞減；

當時，，遞增．∴，從而原不等式成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了拓展城市的旅游業(yè)，實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數個十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.

（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數據如下所示：

A市居民

B市居民

喜歡楊樹

300

200

喜歡木棉樹

250

250

是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；

（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數學期望；

（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數為，求證：.

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一項針對某一線城市30～50歲都市中年人的消費水平進行調查，現(xiàn)抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年內購買六類高價商品（電子產品、服裝、手表、運動與戶外用品、珠寶首飾、箱包）的金額（萬元）的頻數分布表如下：

（1）將頻率視為概率，估計該城市中年人購買六類高價商品的金額不低于5000元的概率.

（2）把購買六類高價商品的金額不低于5000元的中年人稱為“高收入人群”，根據已知條件完成22列聯(lián)表，并據此判斷能否有95%的把握認為“高收入人群”與性別有關？

參考公式：，其中

參考附表：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，焦點為的拋物線的準線被橢圓截得的弦長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點、到直線的距離之積為，求證：直線與橢圓相切．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

求的單調區(qū)間和極值；

當時，若，且，證明：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線，為任意實數.

（1）求證：直線必與圓相交；

（2）為何值時，直線被圓截得的弦長最短？最短弦長是多少？

（3）若直線被圓截得的弦的中點為點，求點的軌跡方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)定義：設是非零實常數，若對于任意的，都有，則稱函數為“關于的偶型函數”

（1）請以三角函數為例，寫出一個“關于2的偶型函數”的解析式，并給予證明

（2）設定義域為的“關于的偶型函數”在區(qū)間上單調遞增，求證在區(qū)間上單調遞減

（3）設定義域為的“關于的偶型函數”是奇函數，若，請猜測的值，并用數學歸納法證明你的結論

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學生對函數的性質進行研究，得出如下的結論：

函數在上單調遞減，在上單調遞增；

點是函數圖象的一個對稱中心；

函數圖象關于直線對稱；

存在常數，使對一切實數x均成立，

其中正確命題的個數是( )

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐，底面ABCD是邊長為1的正方形，，平面平面ABCD，當點C到平面ABE的距離最大時，該四棱錐的體積為（ ）

A.B.C.D.1

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