【題目】已知函數(shù)f（x）=（a﹣bx3）ex﹣ ，且函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，e）處的切線與直線x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞2．

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)閒（1）=e，故（a﹣b）e=e，故a﹣b=1①； 依題意，f′（1）=﹣2e﹣1；又 ，
故f′（1）=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1，故a﹣4b=﹣2②，
聯(lián)立①②解得a=2，b=1，
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得
要證f（x）＞2，即證2ex﹣exx3＞2+ ；
令g（x）=2ex﹣exx3 ， ∴g′（x）=ex（﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex（x3+3x2﹣2）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，﹣ex＜0，x+1＞0；
令p（x）=x2+2x﹣2，因?yàn)閜（x）的對(duì)稱軸為x=﹣1，且p（0）p（1）＜0，
故存在x0∈（0，1），使得p（x0）=0；
故當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，p（x）=x2+2x﹣2＜0，g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＞0，
即g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x0 ， 1）時(shí)，p（x）=x2+2x﹣2＞0，故g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＜0，
即g（x）在（x0 ， 1）上單調(diào)遞減；因?yàn)間（0）=2，g（1）=e，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞g（0）=2，
又當(dāng)x∈（0，1）時(shí)， ，∴
所以2ex﹣exx3＞2+ ，即f（x）＞2
【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，e）處的切線與直線x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直，求得a，b；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，證f（x）＞2，即證2ex﹣exx3＞2+ ，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1與拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，橢圓E的離心率為 ，過點(diǎn)M （m，0）（m＞ ）作斜率不為0的直線l，交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（ ，0），且 為定值．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列四個(gè)結(jié)論：
①已知X服從正態(tài)分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤2）=0.6，則P（X＞2）=0.2；
②若命題 ，則￢p：x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；
③已知直線l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，則l1⊥l2的充要條件是 ．
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的不等式的解集是，求，的值；

（2）設(shè)關(guān)于的不等式的解集是，集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知半圓：，、分別為半圓與軸的左、右交點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與軸垂直，點(diǎn)在直線上，縱坐標(biāo)為，若在半圓上存在點(diǎn)使，則的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）若以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）將曲線C上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 ，再將所得曲線向左平移1個(gè)單位，得到曲線C1 ， 求曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知斜率為k(k≠0)的直線 交橢圓 于 兩點(diǎn)。
（1）記直線 的斜率分別為 ，當(dāng) 時(shí)，證明：直線 過定點(diǎn)；
（2）若直線 過點(diǎn) ，設(shè) 與 的面積比為 ，當(dāng) 時(shí)，求 的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】精準(zhǔn)扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大“中國(guó)夢(mèng)”的重要保障.某地政府在對(duì)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實(shí)施精準(zhǔn)扶貧的工作中，準(zhǔn)備投入資金將當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行二次加工后進(jìn)行推廣促銷，預(yù)計(jì)該批產(chǎn)品銷售量萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與推廣促銷費(fèi)萬元之間的函數(shù)關(guān)系為（其中推廣促銷費(fèi)不能超過5千元）.已知加工此農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本萬元（不包括推廣促銷費(fèi)用），若加工后的每件成品的銷售價(jià)格定為元/件.

（1）試將該批產(chǎn)品的利潤(rùn)萬元表示為推廣促銷費(fèi)萬元的函數(shù)；（利潤(rùn)=銷售額-成本-推廣促銷費(fèi)）

（2）當(dāng)推廣促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，此批產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有張卡片分別寫有數(shù)字，從中任取張，可排出不同的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

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