【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的左焦點(diǎn)F1與拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合,橢圓E的離心率為 ,過(guò)點(diǎn)M (m,0)(m> )作斜率不為0的直線l,交橢圓E于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P( ,0),且 為定值.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求△OAB面積的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)F1(﹣c,0),
∵拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),且橢圓E的左焦點(diǎn)F與拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合,∴c=1,
又橢圓E的離心率為 ,得a= ,于是有b2=a2﹣c2=1.
故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),直線l的方程為:x=ty+m,
整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0
,
=
=(t2+1)y1y2+(tm﹣ t)(y1+y2)+m2 =
要使 為定值,則 ,解得m=1或m= (舍)
當(dāng)m=1時(shí),|AB|= |y1﹣y2|=
點(diǎn)O到直線AB的距離d= ,
△OAB面積s= =
∴當(dāng)t=0,△OAB面積的最大值為
【解析】(Ⅰ)由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),即橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓離心率可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng),再由b2=a2﹣c2求出短半軸,則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),直線l的方程為:x=ty+m,由 整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0由 為定值,解得m,|AB|= |y1﹣y2|= ,點(diǎn)O到直線AB的距離d= ,△OAB面積s= 即可求得最值
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

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