Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，
（Ⅰ）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥2；
（Ⅱ）若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)，
由于，
故f′（x）≥2，（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）。
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，
則，
（�。┤鬭≤2，當(dāng)x＞0時(shí)，，
故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以，x≥0時(shí)，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax；
（ⅱ）若a＞2，方程g′（x）=0的正根為，
此時(shí)，若，則g′（x）＜0，故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)，
所以，時(shí)，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，與題設(shè)f（x）≥ax相矛盾；
綜上，滿足條件的a的取值范圍是(-∞，2]。