Question

【題目】一直函數(shù),其中
（1）討論的單調(diào)性
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有
（3）若關(guān)于的方程（為實數(shù)）有兩個正實根,求證：

Answer 1

【答案】
（1）

當(dāng)為奇數(shù)時，在上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減1

（2）

見解答

（3）

見解答

【解析】（1）由,可得，其中且，下面分兩種情況討論：當(dāng)為奇數(shù)時：令,解得或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

x	(-,-1)	(-1,1)	(1,+)
F’(x)	—	+	—
F(x)

所以，在上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（2）證明：設(shè)點的坐標(biāo)為,則，曲線在點處的切線方程為,即,令，即,則由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，又因為,所以，當(dāng)時，,當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實數(shù)都有,即對任意的正實數(shù)，都有
（3）證明：不妨設(shè),由（2）知,設(shè)方程的根為，可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又由（2）知，可得。類似的，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得,當(dāng)，,即對任意。設(shè)方程的根為,可得，因為在上單調(diào)遞增，且因此.由此可得,因為，所以,故,所以
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義(通過圖像,我們可以看出當(dāng)點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點趨近于時，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即)，還要掌握基本求導(dǎo)法則(若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo))的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．