Question

14．已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²，則使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，3）
• D． （-∞，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 先求出${f}^{'}（x）=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$+2x，再由f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故f（2x）＞f（x+3）等價(jià)于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²，
∴${f}^{'}（x）=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$+2x，
當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，f（x）取最小值，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∵f（x）=ln（e^x+e^-x）+x²是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（2x）＞f（x+3）等價(jià)于|2x|＞|x+3|，
整理，得x²-2x-3＞0，
解得x＞3或x＜-1，
∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求不地，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．