若存在實(shí)常數(shù),使得函數(shù)對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足:恒成立,則稱此直線的“隔離直線”.已知函數(shù).有下列命題:
內(nèi)單調(diào)遞增;
之間存在“隔離直線”, 且b的最小值為-4;
之間存在“隔離直線”, 且k的取值范圍是;
之間存在唯一的“隔離直線”
其中真命題的個(gè)數(shù)有(      ).
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
C

試題分析:(1)=,,則解得,所以內(nèi)單調(diào)遞增;故①正確.
(2)之間存在“隔離直線”,設(shè)“隔離直線”為,當(dāng)“隔離直線”與同時(shí)相切時(shí),截距最小,令切點(diǎn)坐標(biāo)為,則切線方程為所以,故,所以,此時(shí)截距最小,故②正確;此時(shí)斜率為,k的取值范圍是.故③錯(cuò)誤.
④令F(x)=h(x)-m(x)=x2-2elnx(x>0),再令F′(x)═=0,x>0,得x=,
從而函數(shù)h(x)和m(x)的圖象在x=處有公共點(diǎn).
因此存在h(x)和m(x)的隔離直線,那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn),設(shè)隔離直線的斜率為k,則
隔離直線方程為y-e=k(x-),即y=kx-k+e.
由h(x)≥kx-k+e可得 x2-kx+k-e≥0當(dāng)x∈R恒成立,
則△=k2-4k+4e=≤0,只有k=2時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)直線方程為:y=2x-e.
同理證明,由φ(x )≤kx-k+e,可得只有k=2時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)直線方程為:y=2x-e.
綜上可得,函數(shù)f(x)和g(x)存在唯一的隔離直線y=2x-e,故④正確.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知命題函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);命題不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.若是真命題,且為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知; ,若的必要非充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

下列命題中,不正確命題序號(hào)是______
①圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為相交.
②框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫.
③線性回歸直線
y
=
b
x+
a
恒過(guò)樣本中心(
.
x
.
y
).
④對(duì)立事件是互斥事件的特例.
⑤在面積為S的△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,記A=“△PBC的面積大于
S
3
”,則P(A)=
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

下列命題中錯(cuò)誤的是(       )
A矩形的兩條對(duì)角線相等;
B等腰梯形的兩條對(duì)角線互相垂直;
C平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分;
D正方形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

命題“,”的否定為       

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

原命題為“若,,則為遞減數(shù)列”,關(guān)于逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是(   )
A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知命題,命題).
若“”是“”的必要而不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

下列判斷錯(cuò)誤的是(        )
A.“”是“”的充分不必要條件
B.“對(duì)恒成立”的否定是“存在使得
C.若“”為假命題,則均為假命題
D.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則

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