Question

定義在R上的函數(shù)f(x)=

4x

4x+2

，Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，n=2，3，…，則S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出f（x）=1-

2

4x+2

，f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：在R上的函數(shù)f(x)=

4x

4x+2

，Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，n=2，3，…，
∴f（x）=1-

2

4x+2

，
∴f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即總共有n-1項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，
則s_n=

n-1

2

，
而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，
那么我們知道兩邊相加共可以產(chǎn)生

n-2

2

個(gè)1．
中間項(xiàng)是f（

n 2

n

）=f（

1

2

），
∴S_n=1•

n-2

2

+

2

4 +2

=

n-1

2

．
綜上所述，即無論n為奇數(shù)還是偶數(shù)，Sn=

n-1

2

．
故答案為：

n-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．